선형 대수 - 13. 선형 부분공간

이번 시간에는 선형 부분공간에 대해서 스터디 해보겠습니다.

 

좌표계에서 R2라고 하면 아래와 같이 정의할 수 있겠습니다.

xy 평면, 2차원 공간

혹은, 다음과 같이 말할 수 있을 것입니다.

모든 2차원 내의 벡터를 합친 공간

 

그렇다면 R3는 어떨까요?

xyz 공간 혹은 3차원 공간이라고 말할 수 있구요.

마찬가지로 모든 3차원 내의 벡터를 합친 공간이라고 할 수 있겠습니다.

 

즉, 가능한 모든 vector(in Rn)을 합치면 Rn이 되겠습니다.

 

R2의 부분 공간

R2의 부분 공간은 2차원 벡터가 되겠습니다.

(참고. 모든 공간은 부분 공간이 있다.)

 

부분공간(Subspace)

계속해서 부분공간이라는 단어가 나오고 있습니다. 부분 공간을 충족하는 3가지 조건이 있습니다.

 - 1) 항상 0벡터를 포함

       즉, 부분 공간 세트에는 0벡터가 무조건 포함 된니다.

 - 2) 곱셈에 닫혀 있다. (스칼라 곱)

       세트에 있는 벡터에 스칼라 곱을 하면 그 결과도 부분공간 세트에 포함 된됩니다.

 

 - 3) 덧셈에 닫혀 있다.

       공간이 스칼라 곱에 닫혀 있다면 자동으로 부분공간이 0벡터를 포함합니다.

       위 식에서 C=0이 가능합니다.

       즉, 공간이 스칼라 곱에 닫혀있으면 자동으로 부분공간이 0벡터를 포함하게 됩니다.

 

예시를 한 번 확인해 보겠습니다.

     

위 조건에서 이제 x+y=0을 y=-x로 치환하거나 x = -y로 치환하여 생각해보겠습니다.

위와 같이 나타낼 수 있습니다.

그러면 V1 = (x,-x), V2 = (-y,y)가 있을 수 있겠습니다.

cV1 = (cx,-cx)가 되겠네요.

그럼 V의 조건 중 x+y = 0에 의해서,

cx + (-cx) = 0이며, 

최종적으로 0 = 0이 됩니다.

마찬가지로 y에 대해 정리해도 0=0이 나옵니다.

 

즉, 스칼라 곱에 닫혀있는 부분 공간은  0공간을 꼭 포함하게 된다는 것입니다.