반응형 공부/선형대수12 선형 대수 - 12. 3차원에서 선형 독립 3차원에서 선형 독립 아래와 같이 3차원 공간에서, 3차원 공간을 만들기 위해서는 3개의 벡터가 모두 선형 독립이어야 합니다. n차원에서 선형 독립 마찬가지로, Rn의 경우 n차원 공간에서 n개의 벡터가 모두 선형독립이어야 합니다. 하나의 벡터를 span하면 선이 됩니다. 즉, R1은 R2를 정의할 수 없습니다. vector 2개를 span 하면 면(plane)이 됩니다. R2에서 3개 이상의 벡터가 있다면 그 벡터들의 경우 최소 두 개 이상의 벡터가 선형 의존적 입니다. (Linearly dependent) 즉, Rn에서 필요한 n개 보다 벡터가 적으면 공간을 정의할 수 없고, n개 보다 많으면 linearly dependent한 벡터가 무조건 존재합니다. 3차원에서 선형 독립 판별 3차원에서 선형 독.. 2023. 10. 10. 선형 대수 - 11. 선형독립 (2차원) 2차원의 선형독립 (Linear Independence in R2) R2: 2개의 Linear independent한 vector Rn: n개의 vector가 모두 Linearly independent, Rn에서! vector v = (2,2)가 있다고 하겠습니다. vector v의 선형 결합은 아래와 같이 상수 c와 vector v의 곱셈으로 나타낼 수 있습니다. cv의 경우, vector v를 연장한 직선 위의 한 점을 가리키는 벡터가 됩니다. vector v의 경우 아무리 span을 하여도 R2가 될 수 없습니다. 그리고, 여기 vector v에 dependent한 vector w가 있습니다. vector w = (4,4). w는 v와 not linearly independent합니다. (즉, pa.. 2023. 10. 7. 선형 대수 - 10. 선형 결합 & span 선형 결합 지난번에 배운 내용들이 많이 나옵니다. 유닛 벡터와 기저벡터에 관한 내용은 링크를 참조 바랍니다! ( 선형 대수 - 9. 유닛 벡터와 기저 벡터 (tistory.com)) Vector v = (4,-3)이 있다고 하겠습니다. 아래와 같이 그래프로 표현할 수 있습니다. Vector v의 경우 표준 기저 벡터 i, j의 선형결합으로 표현할 수 있습니다. 이것을 다시 표현하면, 아래와 같이 벡터 세트를 결합하여 표현할 수 있습니다. ※ 선형 결합 (Linear Combination): 벡터에 수를 곱한 뒤 더하는 것 (Sum of scared vectors) span 그렇다면 span은 무엇일까요? ※ span: 모든 선형 결합 (all the linear combination) 예를 들어, xy .. 2023. 10. 4. 선형 대수 - 9. 유닛 벡터와 기저 벡터 유닛 벡터. Unit Vector Unit Vector는 길이가 1인 벡터 입니다. 주로 아래와 같이 표현하고 합니다. Vector v = {4,-3}이 있다고 하겠습니다. 그래프로 표현하면 아래와 같습니다. Vector v와 방향이 같은 유닛 벡터를 구하려면 Vector v의 길이를 구해서 v 각각의 원소에 나눠주면 됩니다. Vector v의 크기는 다음과 같이 구할 수 있습니다. 물론 예제에서 v = {4,-3} 이므로, n=2까지 구하면 됩니다. 그래서 본 예제에서 v의 크기는 5가 됩니다. 이제 우리는 Vector v의 unit vector를 구하는 공식을 알게 되었습니다. 그것은 아래와 같습니다. 확인해 보십시오. 표준 기저 벡터: Standard basis vector 2-Dimensional.. 2023. 10. 3. 선형 대수 - 7. 제거 행렬 (Elimination Matrix) 7. 제거 행렬 (Elimination Matrix) 오늘은 특정 A에 대해서, A를 항등행렬로 만드는 제거행렬 E에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 역행렬의 특징 임의의 행렬 A가 있다고 하겠습니다. AI = A IA = A inv(A)*A = I A*inv(A) = I 위의 식들이 성립합니다. 여기서, I = Identity Matrix , 항등행렬, 대각원소만 1이고 나머지는 0인 행렬 inv(A): A의 역행렬 Elimination Matrix (E), 제거 행렬 EA = I를 만족하는 행렬 항등행렬 I는 '기약행사다리꼴(RREF)'인 점을 유의해 주세요. (기약행사다리꼴 참고 링크: 선형 대수 - 3. 피벗(pivot) 과 기약행사다리꼴(RREF) (tistory.com)) EA = I에서, 행렬.. 2023. 9. 24. 선형 대수 - 6. 행렬의 곱 선형대수 6. 행렬의 곱 오늘은 행렬의 곱에 대해 포스팅 해보려 합니다. - 목차 - 1. 행렬의 스칼라 곱 : Scalar Multiplication 2. 행렬 곱셈: Matrix Multiplication 3. 행렬 곱셈의 특징 4. 항등행렬 1. 행렬의 스칼라 곱 : Scalar Multiplication 행렬 A를 생각해 보겠습니다. 행렬 A의 각 원소에 2를 곱하면 다음과 같이 됩니다. 또한, 2가 아니라 (1/2) 혹은 1을 곱하는 것도 유효 합니다. 1A = A Scalar 0을 곱하는 경우라면, 0A = 0 (영행렬)이 됩니다. 영행렬이 나왔으니, 역원에 대해서 잠시 설명하겠습니다. ※ 역원: 서로 더했을 때 역행렬이 되는 행렬의 덧셈 - 행렬 A의 역원은 -A 2. 행렬 곱셈: Matri.. 2023. 9. 14. 선형대수 5. 행렬의 덧셈과 뺄셈 선형대수 5. 행렬의 덧셈과 뺄셈 오늘의 주제는 행렬의 덧셈(Addition)과 뺄셈(Subtraction)입니다. ※ 전제조건. (연산하려는) 두 행렬의 크기가 같아야 한다. 예를 들어, 다음과 같은 행렬에 대한 행렬의 덧셈은, 각 원소 끼리 더하면 됩니다. 다음과 같이 말이죠. 즉, (2x2) 행렬과 (2x2) 행렬을 더해서 (2x2) 행렬을 만들게 되었습니다. (오직 (2x2) 행렬만 더할 수 있습니다.) 뺄셈도 마찬가지 입니다. 이번에는 덧셈에 대해 성립하는 법칙을 알아보겠습니다. 덧셈에 대한 법칙. 1. 결합 법칙 성립 (Commutative) A+B = B+A 2. 교환 법칙 성립 (Associative) A+B+C = A+(B+C) 뺄셈의 경우 결합 법칙과 교환 법칙이 성립하지 않습니다. 행.. 2023. 9. 10. 선형 대수 - 4. 선형계에 대한 해답 선형대수 4. 선형계에 대한 해답 선형계에 대한 해답을 어떻게 분류할 수 있을지 알아보겠습니다. 아래 3가지 케이스에 대해 살펴보겠습니다. 1) One solution 유일한 해 2) No solutions 해가 없음 3) Many solutions 무수히 많은 해 그렇다면 해의 개수는 어떻게 구할까요?? 예를 들어, 아래와 같이 행렬 A가 있다고 가정해 보겠습니다. A 행렬은 (3x3) 행렬이며, 미지수가 3개 입니다. 만약 A를 기약행사다리꼴(RREF)로 만들 수 있습니다. 첫 번째 경우에 대해서 살펴 봅시다. 1) One Solution x = a y = b z = c 의심의 여지 없이 (a,b,c)의 해를 구할 수 있습니다. 두 번째 경우 입니다. 2) No Solutions A를 가우스-조던 소.. 2023. 9. 8. 선형 대수 - 4. 가우스 조던 소거법 (Gauss-Jordan Elimination) 선형대수 4. 가우스 조던 소거법 (Gauss-Jordan Elimination) 지난시간에 배운 기약행사다리꼴(RREF)를 만들기 위해서, 우리는 이제 가우스 조던법(Gauss-Jordan Elimination)을 사용할 것입니다. (기약행사다리꼴 참고: 선형 대수 - 3. 피벗(pivot) 과 기약행사다리꼴(RREF) (tistory.com)) 먼저, 가우스 조던 소거법의 순서에 대해 알아보겠습니다. 수행 방법 (순서) Pull Scalars : 공통 인수를 만든다. Swap out a 0 : 0으로 시작하는 행이 있다면 자리를 바꿔준다. First row pivot : 선행성분을 1로 만든다. Zero out the column : 선행성분이 있는 열의 나머지 성분을 0으로 만든다. Repeat 2.. 2023. 9. 6. 이전 1 2 다음 반응형
