선형 대수 - 7. 제거 행렬 (Elimination Matrix)

7. 제거 행렬 (Elimination Matrix)

오늘은 특정 A에 대해서, A를 항등행렬로 만드는 제거행렬 E에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

역행렬의 특징

임의의 행렬 A가 있다고 하겠습니다.

 

AI = A

IA = A

inv(A)*A = I

A*inv(A) = I

 

위의 식들이 성립합니다.

여기서, 

I = Identity Matrix , 항등행렬, 대각원소만 1이고 나머지는 0인 행렬

inv(A): A의 역행렬

 

Elimination Matrix (E), 제거 행렬

EA = I를 만족하는 행렬

항등행렬 I는 '기약행사다리꼴(RREF)'인 점을 유의해 주세요.

(기약행사다리꼴 참고 링크: 선형 대수 - 3. 피벗(pivot) 과 기약행사다리꼴(RREF) (tistory.com))

 

EA = I에서, 행렬 A에 대한 행연산을 통해 항등행렬 또는 RREF를 구할 것입니다.

 (참고, 모든 행연산은 하나의 소거 행렬로 합쳐질 수 있습니다.)

 

항등행렬 구하는 방법 

그럼 항등행렬을 어떻게 만드는지 확인해보겠습니다. 기약행사다리꼴 복습도 할겸입니다.

다음과 같은 행렬이 있습니다.

 1) (1/2)R1 → R1에 의해서

2) (-1/3)R2 → R2에 의해서

 

3) R1 -2R2 → R1에 의해서

위와 같은 방법으로 처음 행렬을 항등행렬로 만들었습니다.

 

이제 1)~3)의 방법을 따로 하는 것이 아니라, 하나의 행렬로써 생각해보겠습니다.

 

(참고. A의 제거행렬 E가 있으려면, A는 정사각 행렬이어야 하고, EA = I, I가 항등행렬(정사각행렬)이므로, E또한 정사각 행렬이어야 합니다.

 

제거행렬 만드는 방법 (How to make a Elimination Matrix)

그렇다면, EA=I를 다음과 같이 행렬의 형태로 보겠습니다.

1)~3)은 다음과 같이 행렬로 표현할 수 있겠습니다.

이제, 1)~3)을 행렬곱 형태로 구성해야 하는데요. A의 왼쪽으로부터 1)~3)을 수행해야 하는 점을 주의해주세요. 곱셈의 교환법칙이 성립하지 않으니, 주의해야 합니다. 중요합니다.

 

위 식을 수행하면, E를 구할 수 있습니다.

 

최종적인 수식을 확인해보며 마치겠습니다. 

 

 

읽어주셔서 감사드리고, 고생 하셨습니다.