선형 대수 - 4. 선형계에 대한 해답

선형대수 4. 선형계에 대한 해답

 

선형계에 대한 해답을 어떻게 분류할 수 있을지 알아보겠습니다.

 

아래 3가지 케이스에 대해 살펴보겠습니다.

 

1) One solution 유일한 해

 

2) No solutions 해가 없음

 

 

3) Many solutions 무수히 많은 해

 

그렇다면 해의 개수는 어떻게 구할까요??

 

예를 들어, 아래와 같이 행렬 A가 있다고 가정해 보겠습니다.

 

A 행렬은 (3x3) 행렬이며, 미지수가 3개 입니다.

만약 A를 기약행사다리꼴(RREF)로 만들 수 있습니다.

 

첫 번째 경우에 대해서 살펴 봅시다.

1) One Solution

x = a
y = b
z = c

의심의 여지 없이 (a,b,c)의 해를 구할 수 있습니다. 

 

두 번째 경우 입니다.

2) No Solutions

A를 가우스-조던 소거를 해서 RREF로 만들 었는데,

x = 2
y = 4
0 = 6 (?!)

0 = 6이 성립하지 않습니다. 즉, 연립방정식의 해가 없습니다. (※ 불능. Inconsist system)

 

세 번째 경우 입니다.

3) Many solutions

A를 RREF로 만들었더니 아래와 같이 되었습니다.

x = a
y = b
0 = 0

세 번째, 0z = 0이니까, z에 어떠한 값을 넣어도 성립합니다. 즉, 해가 무수히 많습니다. (무한대)

 

그렇다면 실제는 어땠을까요?

Gauss-Jordan Elimination을 하면 (생략하겠습니다.), 다음과 같이 됩니다.

1열, 2열은 pivot column이고, 3열은 자유열(Free column) 입니다.

즉, x,y는 pivot 변수이고, z는 free 변수 입니다. (pivot entry = "1")

pivot 변수를 자유변수에 대하여 정리를 해보겠습니다.

x = -3/4z - 11/8
y = 5/4z + 13/8

pivot 변수는 z에 따라 달라집니다.

z에 어떠한 random 값을 대입하면, valid (x,y)를 획득할 수 있습니다.

 

3) Many solutions의 경우 였네요!!.

 

다음 시간에는 행렬의 연산에 대해 알아볼 수 있도록 하겠습니다.