선형 대수 - 4. 가우스 조던 소거법 (Gauss-Jordan Elimination)

선형대수 4. 가우스 조던 소거법 (Gauss-Jordan Elimination)

 

지난시간에 배운 기약행사다리꼴(RREF)를 만들기 위해서, 우리는 이제 가우스 조던법(Gauss-Jordan Elimination)을 사용할 것입니다. (기약행사다리꼴 참고: 선형 대수 - 3. 피벗(pivot) 과 기약행사다리꼴(RREF) (tistory.com))

 

먼저, 가우스 조던 소거법의 순서에 대해 알아보겠습니다.

 

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<가우스 조던 소거법 (Gauss-Jordan Elimination)> 수행 방법 (순서)

1. Pull Scalars : 공통 인수를 만든다.
2. Swap out a 0 : 0으로 시작하는 행이 있다면 자리를 바꿔준다.
3. First row pivot : 선행성분을 1로 만든다.
4. Zero out the column : 선행성분이 있는 열의 나머지 성분을 0으로 만든다.
5. Repeat 2~4 : (기약행사다리꼴이 완성이 되지 않았다면) 2~4를 반복한다.

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한 행렬을 이용하여 가우스 조던 소거법을 실제 사용해보겠습니다.

 

예를 들어, 아래와 같이 3개의 방정식이 있다고 하겠습니다.

3x -2y + 1 = 2
-x - 5y + 4z = 1
x + 4y -6z = -9

이를 행렬로 표현하면 다음과 같습니다.

그럼 가우스조던법에 따라서,

1. 공통인수를 만든다.

 - 지금 R1, R2, R3 각각을 보시면 공통인수로 묶을 수 있는 숫자가 없습니다.

 - 없으면, 그냥 넘어 갑니다.

 

2. 0으로 시작하는 행이 있다면 자리를 바꿔준다.

 - 0으로 시작하는 행이 없으면 그냥 넘어 갑니다.

 

3. 선행성분을 1로 만든다.

 - 여기서 두 가지 방법이 있겠네요.

   첫 번째, R1 x (1/3) 

   두 번째, R1 ↔ R3

 - 저는 두 번째 방법을 택하겠습니다. 그러면 행렬을 아래처럼 표현할 수 있겠습니다.

4. 선행성분이 있는 열의 나머지 성분을 0으로 만든다.

 - 현재 1행 1열의 성분이 1이며, 이것이 pivot이 됩니다. 2행 1열의 원소 및 3행 1열의 원소를 0으로 만들면 됩니다.

 - R1+R2 → R2

 - (R1x3) - R3 → R3

 - 두 방법을 시행하면 아래와 같습니다.

 

5. 기약행사다리꼴이 완성이 되지 않았다면 2~4를 반복한다.

 

2'. 두 번째 행 선행성분이 0이면 행을 swith 한다.

 - 아니라면 선행성분을 1로 만든다.

 

3'. 선행성분을 1로 만든다.

 - 1행의 선행 성분이 1열에 있으므로, 2행의 선행 성분은 1열 이후에 나타날 수 있습니다.

 - (-R2) → R2

4. 선행 성분이 있는 열의 나머지 성분을 0으로 만든다.

 - 2행의 선행 성분이 2열에 있으므로, 2행 2열을 제외한 2열의 나머지 성분을 0으로 만듭니다.

 - R1 - 4R2 → R1

 - R3 + 14R2 → R3

 

5. 기약행사다리꼴이 아니니 다시 2로 돌아갑니다 .. ㅎㅎ (좀만 더 화이팅!)

 

2''. 두 번째 행 선행성분이 0이면 행을 swith 한다.

 - 아니라면 선행성분을 1로 만든다.

 

3''. 선행성분을 1로 만든다.

 - 이제 3행 3열이 선행성분이 됩니다.

 - (1/47)xR3 → R3

 

4''. 선행 성분이 있는 열의 나머지 성분을 0으로 만든다.

 - 3열의 나머지 성분을 모두 0으로 만듭니다.

 - R1 + 14R3 →R1

 - R2-2R3 → R2

 

이제 기약행사다리꼴이 완성되었습니다.

 

해도 바로 구할 수 있게 되었습니다.

x = 1
y = 2
z = 3

 

 

다음 시간에는 선형계에서 해답의 수에 대해 알아볼 수 있도록 하겠습니다.