선형 대수 - 3. 피벗(pivot) 과 기약행사다리꼴(RREF)

행렬을 이용하여 연립방정식을 풀고, '기약행사다리꼴 (Reduced Row-echelon form) '로 만들어보겠습니다.

 

먼저, 행사다리꼴의 정의를 알아봅시다.

 

행사다리꼴 (row-echelon)의 정의

1. 피벗(pivot) 원소는 모두 1이다.

2. 영행(zero rows)는 모두 아래에 놓인다.

3. 계단 형태의 피벗

 

'피벗'이라는 단어가 나왔네요. 피벗은 아래와 같이 정의할 수 있습니다.

피벗(pivot, 선행선분)은 각 행에서 0이 아닌 첫번째 성분

 

우리가 또 알아야 하는 기약 행사다리꼴의 정의를 알아봅시다.

기약행사다리꼴(통칭 RREF)은 행사다리꼴의 정의에서 하나가 더 추가됩니다.

기약행사다리꼴(Reduced row-echelon form)의 정의

1. 피벗(pivot) 원소는 모두 1이다.

2. 영행(zero rows)는 모두 아래에 놓인다.

3. 계단 형태의 피벗

*4. 피벗이 있는 열의 나머지 원소는 모두 0이다. (pivots alone)

기약행사다리꼴의 형태를 보면 아시겠지만, 기약행사다리꼴을 보면 해를 바로 구할 수 있습니다.

 

행렬로 부터 행사다리꼴과 기약행사다리꼴을 만들어 보겠습니다.

만드는 방법은 행렬의 세 가지 연산 방법을 활용하면 됩니다. (참고. 선형 대수 - 2. 행렬, 간단한 행 연산 (tistory.com))

 

 

이제 아래 행렬을 A로 지칭하겠습니다.

행렬을 사다리꼴 형태로 만들기 위해 선행성분을 모두 1로 만들어야 합니다.

또한, 각 행의 선행선분은 바로 위 행의 선행 선분보다 오른쪽에 있어야 합니다.

즉, 계단 형태의 피벗(stair case)를 만드는 것입니다!

 

이제부터 본격적으로 연산을 시작합니다. (처음이신 분들은 손으로 직접 풀어보세요!)

 

A에서 R1 x (-1) → R1을 수행 합니다.

R2 - 3R → R2

R3 - R1 → R3

R3 + 4R2 → R3

R3/30 → R3

행사다리꼴을 만들었습니다.

앞서 정의한 것과 비교해보면, 피벗원소는 모두 1입니다. 0행인 행은 없구요. 선행원소의 배치에 의해 사다리꼴 형태를 띄고 있습니다.

 

z → y → x 순으로 해를 쉽게 구할 수 있습니다.

(z = 7/30, z를 2번째 행에 대입하여 y를 구함. y,z를 1행에 대입하여 x를 구함)

 

# 기약행사다리꼴

이제 행사다리꼴에서 기약행사다리꼴을 구해보겠습니다.

기약행사다리꼴은, 행사다리꼴에서 피벗원소의 나머지열을 0으로 만들면 됩니다.

R1 + 2R2 → R1

R2 - 7R2 → R2

기약행사다리꼴을 보면 직관적으로 해를 쉽게 구할 수 있습니다.

(x, y, z) = (-8/15, -19/30, 7/30)

 

다음 시간에는 가우스 조던 소거법에 대해서 알아보겠습니다.