선형 대수 - 6. 행렬의 곱

선형대수 6. 행렬의 곱

오늘은 행렬의 곱에 대해 포스팅 해보려 합니다.

---

 - 목차 - 

1. 행렬의 스칼라 곱 : Scalar Multiplication

2. 행렬 곱셈: Matrix Multiplication

3. 행렬 곱셈의 특징

4. 항등행렬

---

 

1. 행렬의 스칼라 곱 : Scalar Multiplication

 

행렬 A를 생각해 보겠습니다.

행렬 A의 각 원소에 2를 곱하면 다음과 같이 됩니다.

 

또한, 2가 아니라 (1/2) 혹은 1을 곱하는 것도 유효 합니다. 1A = A

 

Scalar 0을 곱하는 경우라면, 0A = 0 (영행렬)이 됩니다.

 

영행렬이 나왔으니, 역원에 대해서 잠시 설명하겠습니다.

 

※ 역원: 서로 더했을 때 역행렬이 되는 행렬의 덧셈

 - 행렬 A의 역원은 -A

 

2. 행렬 곱셈: Matrix Multiplication

아래의 경우를 생각해보겠습니다.

여기서 a11은 다음과 같이 첫번째 행렬의 첫 번째 행과 두 번째 행렬의 첫 번째 열을 곱해서 얻을 수 있습니다.

즉, a11 = 2x0 + 3x0 = 0이 됩니다.

a12는 그렇다면 2x1 + 3x-1 = -1이 되겠습니다.

 

이런식으로 a11 ~ a22를 구한 행렬은 다음과 같습니다.

 

모든 행렬은 다 곱셈이 가능할까요? 아닙니다.

어떠한 경우에 행렬 곱셈이 가능한지 알아보겠습니다.

 

※ 행렬 곱하기 위한 조건

 - 첫 번째 행렬의 열의 수 = 두 번째 행렬의 행의 수

 

 

3. 행렬 곱셈의 특징

 

a. 교환법칙

곱셈의 경우 교환법칙이 성립하지 않습니다. : Not Commutative

즉 AB ≠ BA

 

b. 결합법칙 Associative

결합법칙이 성립합니다.

(AB)C = A(BC)

 

c. 분배법칙 Distributive

분배법칙이 성립합니다.

(A+B)C = AC + BC 

C(A-B) = CA-CB 

☆ 단, (A+B)C = AC+BC에서 순서를 꼭 지켜야 합니다. 즉 (A+B)C ≠ CA+CB 입니다!!

 

4. 항등행렬 : Identity matrices

 - 항등행렬은 아래와 같이 대각원소(Diagonal element)가 1이고 나머지는 0인 정방행렬입니다.

 - 행렬, 스칼라 1을 곱하면 행렬의 값에 변화가 없습니다. 

  ★ 행렬은 곱셈의 경우 교환법칙이 성립하지 않지만, 항등행렬은 교환법칙이 성립합니다.

      (단, 여기서도 행렬의 크기는 주의해야 합니다.)

 - 영행렬x행렬 = 항상 영행렬 입니다.

 

 

아직까지는 난이도가 평이합니다.

다음 시간에는 제거 행렬 (Elimination Matrix "E")에 대해서 공부하고 포스팅 해보도록 하겠습니다.

꾸준히 힘내서 공부하겠습니다.

감사합니다.