선형 대수 - 11. 선형독립 (2차원)

2차원의 선형독립 (Linear Independence in R2)

 

R2: 2개의 Linear independent한 vector

Rn: n개의 vector가 모두 Linearly independent, Rn에서!

 

vector v = (2,2)가 있다고 하겠습니다.

vector v의 선형 결합은 아래와 같이 상수 c와 vector v의 곱셈으로 나타낼 수 있습니다.

cv의 경우, vector v를 연장한 직선 위의 한 점을 가리키는 벡터가 됩니다.

vector v의 경우 아무리 span을 하여도 R2가 될 수 없습니다.

 

그리고, 여기 vector v에 dependent한 vector w가 있습니다. vector w = (4,4).

w는 v와 not linearly independent합니다. (즉, parallel)

 

그렇다면, vector a = (1,1), vector b = (0,6)이 있다고 가정하겠습니다.

vector a에 상수배를 해서 vector b가 될 수는 없습니다.

다시말해서, vector a의 선형결합으로 vector b를 만드는 스칼라는 없습니다. 이럴 때, vector a와 vector b가 선형 독립(Linear Independent)이라고 합니다.

 

 

방정식을 통해 선형독립을 확인하는 방법

아래 방정식을 만족하는 상수 c1,c2가 오직 c1=0, c2=0 뿐이라면, 두 벡터는 독립적이라고 할 수 있습니다.

 

반대로 c1,c2의 다른 조합이 가능하다면, 두 벡터는 독립적이라고 할 수 없습니다. (dependent)

예를 들어, vector v = (2,2), vector w = (4,4)의 경우 아래와 같은 방정식으로 표현할 수 있습니다.

이 때, c1 = -2, c2 = 0 등 무수히 많은 c1,c2의 조합이 나타나므로 vector v와 vector w는 선형 독립이지 않습니다.

 

span

다시 vector a = (1,1), vector b = (0,6)의 경우 span하면 2차원 평면 위의 어떠한 벡터도 만들 수 있습니다.

 

만약, 세 벡터가 모두 선형 독립이라면 span(v1,v2,v3) = R3와 같이 나타낼 수 있습니다.

만약, 세 벡터 중 두 개의 벡터가 의존적이면 span(v1,v2,v3) = R2 입니다.

 

n개의 벡터는 최대 Rn까지 span 가능합니다.

 

 

3차원에서 선형독립의 경우 또 얘기할 것이 좀 있습니다. 

다음 시간에 한 번 다뤄보도록 하겠습니다. 감사합니다.