선형 대수 - 9. 유닛 벡터와 기저 벡터

 

유닛 벡터. Unit Vector

Unit Vector는 길이가 1인 벡터 입니다.

주로 아래와 같이 표현하고 합니다.

 

Vector v = {4,-3}이 있다고 하겠습니다.

그래프로 표현하면 아래와 같습니다.

벡터의 표현

Vector v와 방향이 같은 유닛 벡터를 구하려면 Vector v의 길이를 구해서 v 각각의 원소에 나눠주면 됩니다.

Vector v의 크기는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

벡터의 크기

물론 예제에서 v = {4,-3} 이므로, n=2까지 구하면 됩니다.

그래서 본 예제에서 v의 크기는 5가 됩니다.

유닛벡터의 표현

 

이제 우리는 Vector v의 unit vector를 구하는 공식을 알게 되었습니다.

그것은 아래와 같습니다. 확인해 보십시오.

유닛 벡터의 표현

 

표준 기저 벡터: Standard basis vector

 

2-Dimensional에서 표준 기저 벡터는 다음과 같습니다.

기저 벡터의 표현

3-Dimensional에서 표준 기저 벡터는 다음과 같습니다.

기저 벡터의 표현

벡터의 원소를 표현하면 아래와 같이 나타낼 수 있겠습니다.

2차원에서 기저 벡터의 표현

3차원에서 기저 벡터의 표현

 

※ 기저 벡터를 이용하여 다른 벡터를 반들 수 있습니다.

예를 들어, (1,0) 4개와, -(0,1) 3개를 이용하여 Vector v = {4,-3}을 만들 수 있습니다.

그래프로 확인하겠습니다.

그래프에서 벡터의 표현

 

벡터는 여러 방법으로 표현할 수 있습니다. 아래 마지막 수식을 보시면, 기저를 이용해서도 벡터를 표현할 수 있습니다.

벡터를 표현하는 다양한 방법

3차원에서도 마찬가지로 특정 벡터가 있다면 표준 기저벡터의 선형조합으로 표현 가능합니다.

 

다음 시간에는 선형 결합과 span에 대해서 공부한 것을 정리하도록 하겠습니다.

 

화이팅 입니다.

 

 

그래프를 그리는 소스코드입니다.

<벡터 (4,-3)을 그리는 코드>

import matplotlib.pyplot as plt

# 벡터 v의 좌표
x = 4
y = -3

# 원점에서 벡터 v의 끝점까지의 선을 그립니다.
plt.quiver(0, 0, x, y, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='b', label='v')

# x축과 y축 그리기
plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.5)

# x축과 y축의 범위를 설정합니다.
plt.xlim(-1, 5)
plt.ylim(-4, 1)

# 벡터 v의 끝점에 좌표를 표시합니다.
plt.annotate(f'({x}, {y})', (x, y), textcoords="offset points", xytext=(10,-10), ha='center', fontsize=12)

# 그래프 제목과 벡터 레이블을 추가합니다.
plt.title("Vector v = (4, -3)")
plt.xlabel("X-axis")
plt.ylabel("Y-axis")

# 그래프를 보여줍니다.
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()

 

<기저 벡터와 벡터를 그리는 코드>

import matplotlib.pyplot as plt

# 벡터들의 시작점과 값 정의
vectors = [(0, 0, 4, -3), (0, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 0), (2, 0, 1, 0), (3, 0, 1, 0), (0, 0, 0, -1), (0, -1, 0, -1), (0, -2, 0, -1)]

# 그래프를 그립니다.
for vector in vectors:
    x_start, y_start, x_value, y_value = vector
    plt.quiver(x_start, y_start, x_value, y_value, angles='xy', scale_units='xy', scale=1)

# x축과 y축을 그립니다.
plt.axhline(0, color='k', linestyle='--')
plt.axvline(0, color='k', linestyle='--')

# x축과 y축의 범위를 설정합니다.
plt.xlim(-1, 5)
plt.ylim(-4, 1)

# 그래프 제목과 축 레이블을 추가합니다.
plt.title("Vectors")
plt.xlabel("X-axis")
plt.ylabel("Y-axis")

# 그래프를 보여줍니다.
plt.grid()
plt.show()