선형 대수 - 10. 선형 결합 & span

선형 결합

 

지난번에 배운 내용들이 많이 나옵니다. 

유닛 벡터와 기저벡터에 관한 내용은 링크를 참조 바랍니다!

( 선형 대수 - 9. 유닛 벡터와 기저 벡터 (tistory.com))

 

Vector v = (4,-3)이 있다고 하겠습니다. 아래와 같이 그래프로 표현할 수 있습니다.

벡터의 표현

Vector v의 경우 표준 기저 벡터 i, j의 선형결합으로 표현할 수 있습니다.

이것을 다시 표현하면, 아래와 같이 벡터 세트를 결합하여 표현할 수 있습니다.

 

※ 선형 결합 (Linear Combination): 벡터에 수를 곱한 뒤 더하는 것 (Sum of scared vectors)

 

span

그렇다면 span은 무엇일까요?

 

※ span: 모든 선형 결합 (all the linear combination)

예를 들어, xy 좌표 평면은 2-Dimension 좌표공간이다. 이것은 표준 기저의 span과 같습니다.

 

즉, i와 j의 span을 취한다는 것은 R2의 모든 것을 span 한다는 것입니다.

*R2에서 어떤 벡터라도 i와 j의 선형 결합으로 표현할 수 있다!

 

예를 들어, a = (7,-2) 라면, 7i - 2j와 같이 i와 j의 선형 결합으로 표현할 수 있으며,

b = (-2,9) 라면, -2i + 9j와 같이 i와 j의 선형 결합으로 표현할 수 있습니다.

 

비슷하게, 3차원 공간에서도 마찬 가지 입니다.

 

* 선형 독립인 두 개의 벡터의 span은 R2이고, 선형 독립인 세 개의 벡터의 span은 R3이다.

즉, R2: 2개의 Linearly Independent vectors in R2

R3: 3개의 Linearly Independent vectors in R3

 

3차원의 경우로 생각해보겠습니다.

아래 그림과 같이, 같은 평면 위에 있는 Vectors를 조합하면 R3가 되지 않습니다. (평면 위에 있는 여러 독립적인 벡터를 span하면 평면이 됩니다)

 

이번 시간에 다소 선행의 개념으로 "독립(Independet)"라는 개념이 나왔습니다.

다음 시간에는 선형 독립이란 무엇인지 알아보도록 하겠습니다.

 

감사합니다. 화이팅!