선형 대수 - 1. 행렬과 행렬의 해

선형대수학은 수학, 과학, 공학의 다양한 분야의 중추를 이루고 있습니다. 대학 시절 선형대수가 중요한지 모르고 가볍게 지나쳤다가 이제와서 다시 공부해 보며, 기록하려 합니다. 느리지만 천천히 끝까지 한 번 기록해 보겠습니다.

 

1. 행렬이란?

행렬은 숫자, 기호 또는 표현식이 행과 열로 배열된 직사각형 배열입니다. 데이터 집합이나 방정식 시스템을 표현하고 조작하는 간결하고 조직적인 방법을 제공합니다. 행렬의 각 항목은 원소(Element)라고 하며, 위치는 행과 열의 인덱스를 이용하여 표현합니다. 일반적으로 m개의 행과 n개의 열이 있는 행렬은 mxn으로 표현합니다.

 

2. 행렬을 푸는 방법 How to solve a matrix?

행렬은 각기 다른 상황에 적합하고 다양한 방법을 이용하여 풀 수 있습니다.

여기서는 2개의 변수를 가지는 2개의 방정식에 대하여 대입법 혹은 치환(Subtitution), 소거법(Elimination), 그래프(Graph)를 이용한 방법에 대하여 알아보도록 하겠습니다.

 

<치환(Subtitution)>

치환은 변수에 대한 하나의 방정식을 풀고 그 값을 다른 방정식에 대입하는 방법입니다.

예를 들어 아래 두 개의 방정식에 대해서 생각해 보겠습니다.

2x + 3y = 8
4x - 2y = 2

첫번째 방정식을 x에 대하여 정리하면 

x = (8-3y) / 2

입니다.

이를 두 번째 방정식에 대입하면

4((8 - 3y) / 2) - 2y = 2

이를 y에 대해 풀고, y값을 사용하여 x를 찾습니다.

 

<소거(Elimination)>

소거는 덧셈 또는 뺄셈을 하여 변수를 소거하여 방정식을 풉니다.

3x + 2y = 12
2x - 3y = 1

두 번째 식에 2를 곱하고, 3번째 식에 3을 곱하여 아래 위 두 식을 빼서 x를 소거하면 y의 값을 구할 수 있습니다.

구한 y를 이용하여 나머지 x를 구할 수 있습니다.

 

<그래프(Graph)>

아래 두 식이 있다고 가정해 보겠습니다.

x + y = 4
2x - y = 1

 

그렇다면 그래프를 이용하여 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

그 결과 x = 5/3, y = 7/3임을 직관적으로 알 수 있습니다. (눈으로 교점 파악이 어려운 경우 결국 치환법이나 소거법을 사용해야겠습니다.)