이산수학 01 - Speaking mathematically, Variables

 

Discrete Mathematics with Applications (Susanna S.Epp) 를 공부한 것을 정리/기록 한 것입니다.

 

Chapter 1. Speaking mathematically

1.1 Variables

 

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• universal statement (전칭 명제)
  
  • 어떤 집합에서 모든(For all) 요소가 어떤 성질을 만족한다는 명제
  • 예) 모든 양수는 0보다 크다.
• conditional statement (조건 명제)
  
  • 어떤 것이 참이면 (if then), 그 결과로 다른 어떤 것도 반드시 참이 된다는 명제
  • 예) 만약 378이 18로 나누어떨어진다면, 378은 6으로도 나누어떨어진다.
    (P → Q)
• existential statement (존재 명제)
  
  • 특정 성질을 만족하는 요소가 집합 내에 적어도 하나는 존재한다는 명제
  • 예) 짝수인 소수가 존재한다.
• Universal Conditional Statements (전칭 조건 명제)
  
  • for all + if then 구조의 명제
  • 예) For all animals a, if a is a dog, then a is a mammal.
  • 전칭 조건 명제는 완전한 전칭명제 혹은 완전한 조건명제로 쓸 수 있다.
  • 조건명제로 써보기
    • If a is a dog, then a is a mammal
    • If an animal a is a dog, then the animal is a mammal.
    • 위 두 개문장은 implicit universal / explicit conditional 이다.
  • 전칭명제로 써보기
    • For all dog a, a is a mammal
    • explicit universal / implicit conditional
• Universal Existential Statements (전칭 존재 명제)
  • 궁극적으로 Universal한 명제이다. 
  • 문장의 구조는 (전칭 명제), (존재 명제)로 구성된다.
  • 예) 모든 실수는 덧셈에 대한 역원을 가진다.
  • 위 예제에서 '역원을 가진다.'는 universally 모든 실수에 적용된다.
• Existential Universal Statements (존재 전칭 명제)
  • 궁극적으로 existential한 명제이다.
  • 문장의 구조는 (존재 명제), (전칭 명제)로 구성된다.
  • 예) 'There is' a positive integer that is less than or equal to every positive integer.
  • 이 명제는 참일까요? → 네. '1'만 이 문장을 만족할 수 있겠네요.
  • 이 문장을 존재 전칭 명제가 잘 드러나도록 바꿔보면,
    
    • 'There is' a positive integer m with the property that 'for all' positive integers n, m<=n.
• 명제의 특징
  • Universal : For all / 모든 ~~에 대하여
  • Conditional : If then / ~이면 ~다.
  • Existential : There is / ~가 있다.