이산수학 02 - Speaking mathematically, Sets, Relations and Functions

Discrete Mathematics with Applications (Susanna S.Epp) 를 공부한 것을 정리/기록 한 것입니다.

 

Chapter 1. Speaking mathematically

1.2 The Language of Sets

1.3 The Language of Relations and Functions

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1.2 The Language of Sets

• If S is a set, x∈S : x는 S의 원소이다.
• If S is a set, x∈/S : x는 S의 원소가 아니다. (∈/ : is not an element of, 이거 특수문자에 없네요ㅠ)
• {1,2,3, ...} : 모든 양의 정수를 의미함
  • ... : and so forth 라고 읽음
• {1, {1}} : 원소 2개, 1, {1}
• 집합 표현법 (일반적인)
  • R : 실수 (real number)
  • Z : 정수
  • Q : 유리수
  • N : 자연수
• Set-builder notation (집합의 표시 방법: 조건제시법)
  • the set of all elements x in S such that P(x) is true
  • {x ∈ S | P(x)}
  • | : such that 라고 읽음
• 부분집합
  • A ⊆ B : 집합 A는 집합 B의 부분집합
• 진부분집합 (proper subset)
  • A ⊂ B 이고, A ≠ B
  • A가 B의 진부분집합이면, ∃x, x∈B and x∈/A
• Cartesian Products
  • 먼저, 두 개의 순서쌍 (a,b) = (c,d) 라면, a = c, b = d 이다.
  • Given sets A,B에서 Cartesian Product 다음과 같이 표현한다.
    • A cross B
    • A x B
    • 뜻 : the set of all ordered pari뎈s (순서쌍) (a,b) , a is in A, b is in B
  • A x B = {(a,b) | a ∈ A and b ∈ B}
  • 예) A = {1,2,3}, B = {u,v} 이면, A x B = {1u, 2u, 3u, 1v, 2v, 3v}

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1.3 The Language of Relations and Functions

 

Relations

• A가 B의 부분집합이면 A는 B와 관계가 있다고 할 수 있다.
• A = {0,1,2}, B = {1,2,3} 라고 하자
  • x ∈ A, y ∈ B, x is less than y 라면 xRy라고 표현할 수 있다.
  • 이때, x는 y와 관계가 있다고 할 수 있다.
  • xRy : 0R1, 0R2, ..., 2R3
• A,B를 집합이라고 하자. R (relation) from A to B is a subset of A x B 이다.
• (x,y) in A x B 라면, x is related to y by R.
• xRy (x,y) in R
• 이때, A는 R의 domain(정의역), B는 R의 co-domain(공역) 라고 한다.
• xRy : (x,y) ∈ R

Functions

•  A function F from a set A to a set B
  • A : domain , B : co-domain
• 2가지 속성을 가진다!
  • 1. ∀x, x ∈A, ∃y, y ∈B | (x,y) ∈ F
  • 2. ∀x, x ∈A, ∀y,z ∈ B, ((x,y) ∈ F ∧ (x,z) ∈ F) → y = z 
  • y^2 = x 는 function 일까?
    • No, (1,1) 및 (1,-1)은 2번째 속성을 만족하지 않으므로, y^2 = x 는 함수가 아님.
• 함수의 표현
  • 집합 A to B인 함수 F가 있을 때, A의 원소 x는 단 하나의 B의 원소 y와 관계가 있다. 
    이것을 우리는 'F of x'라고 하고, F(x)로 표기한다.

Cartesian

• 서로 독립적인 데이터(집합)을 결합하여 새로운 차원(공간)을 창조
• Cartesian Plane은 두 개의 real line을 직교시켜 만든 2차원 좌표계이다.
• 모든 평면 위의 점이 실수 두 개의 순서쌍으로 표현이 된다.